數(shù)列的通項(xiàng)與求和

　　數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用.數(shù)列以通項(xiàng)為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對數(shù)列通項(xiàng)的研究，而數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可視為數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)。通項(xiàng)及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一，與數(shù)列極限及數(shù)學(xué)歸納法有著密切的聯(lián)系，是成人高考對數(shù)列問題考查中的熱點(diǎn)，本點(diǎn)的動態(tài)函數(shù)觀點(diǎn)解決有關(guān)問題，為其提供行之有效的方法.

　　●難點(diǎn)磁場

　　(★★★★★)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對于所有的自然數(shù)n，an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng).

　　(1)寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng).

　　(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(寫出推證過程)

　　(3)令bn= (n∈N*)，求 (b1+b2+b3+…+bn-n).

　　●案例探究

　　[例1]已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x-1)2，且a1=f(d-1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q-1)，

　　(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

　　(2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，對一切n∈N*，都有 =an+1成立，求 .

　　命題意圖：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的極限，以及運(yùn)算能力和綜合分析問題的能力.屬★★★★★級題目.

　　知識依托：本題利用函數(shù)思想把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為方程問題非常明顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數(shù)列前n項(xiàng)和，實(shí)質(zhì)上是該數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列{an}的關(guān)系，借助通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解cn是該條件轉(zhuǎn)化的突破口.

　　錯解分析：本題兩問環(huán)環(huán)相扣，(1)問是基礎(chǔ)，但解方程求基本量a1、b1、d、q，計(jì)算不準(zhǔn)易出錯;(2)問中對條件的正確認(rèn)識和轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.

　　技巧與方法：本題(1)問運(yùn)用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為方程問題，思路較為自然，(2)問“借雞生蛋”構(gòu)造新數(shù)列{dn}，運(yùn)用和與通項(xiàng)的關(guān)系求出dn，絲絲入扣.

　　解：(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2，a3=f(d+1)=d2，

　　∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d，

　　∵d=2，∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q-1)=(q-2)2，

　　∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=-2，

　　∴bn=b·qn-1=4·(-2)n-1

　　(2)令 =dn，則d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),

　　∴dn=an+1-an=2,

　　∴ =2,即cn=2·bn=8·(-2)n-1;∴Sn= [1-(-2)n].