2024年山東成人高考高起點《理數》重點知識復習（六）
●案例探究
[例1]已知過原點O的一條直線與函數y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數y=log2x的圖象交于C、D兩點.
(1)證明：點C、D和原點O在同一條直線上;
(2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標.
命題意圖：本題主要考查對數函數圖象、對數換底公式、對數方程、指數方程等基礎知識，考查學生的分析能力和運算能力.屬★★★★級題目.
知識依托：(1)證明三點共線的方法：kOC=kOD.
(2)第(2)問的解答中蘊涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A點坐標.
錯解分析：不易考慮運用方程思想去解決實際問題.
技巧與方法：本題第一問運用斜率相等去證明三點共線;第二問運用方程思想去求得點A的坐標.
(1)證明：設點A、B的橫坐標分別為x1、x2,由題意知：x1>1,x2>1,則A、B縱坐標分別為log8x1,log8x2.因為A、B在過點O的直線上，所以 ,點C、D坐標分別為(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1= = 3log8x2,所以OC的斜率：k1= ,
OD的斜率：k2= ，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一條直線上.
(2)解：由BC平行于x軸知：log2x1=log8x2 即：log2x1= log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1= ,則點A的坐標為( ，log8 ).
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